Vektoroperationen

Vektoroperationen bezeichnen die grundlegenden mathematischen Operationen mit Vektoren in Vektorräumen, meist im euklidischen Raum R^n. Typische Operationen umfassen Addition, Subtraktion, skalare Multiplikation, das Skalarprodukt und das Kreuzprodukt (in R^3). Sie dienen der Kombination von Größen, Richtungen und Abständen.

Unter Addition und Subtraktion versteht man komponentenweise Operationen: a + b und a − b ergeben neue Vektoren im gleichen Raum. Die Addition ist kommutativ und assoziativ; die Nullvektor e dient als neutrales Element.

Die skalare Multiplikation multipliziert jeden Eintrag eines Vektors mit einer Zahl, λa. Sie erfüllt Distributivität und Homogenität.

Das Skalarprodukt a · b ist ein Skalar und erfüllt Bilinearität und Symmetrie. Es liefert den Winkel θ über cos θ = (a · b)/(|a||b|). Es ermöglicht auch Projektionen und Normberechnungen.

Das Kreuzprodukt a × b existiert in R^3 und ergibt einen Vektor senkrecht zu a und b; |a × b| = |a||b|sin θ. Es dient der Bestimmung von Flächeninhalten und Orientierung (Rechtssystem). In anderen Räumen wird stattdessen das äußere Produkt verwendet.

Die Norm ||a|| misst die Länge eines Vektors; der Einheitsvektor ist a/||a||, sofern a ≠ 0. Die Projektion von b auf a ist proj_a b = ((a · b)/(a · a)) a; zentrale Anwendung in der Orthogonalisierung.

Weitere Konzepte umfassen Linearkombinationen, Spann, Linearunabhängigkeit sowie Anwendungen in Graphik, Physik, Robotik und maschinellem Lernen.