Normberechnungen

Normberechnungen bezeichnen das Bestimmen von Normen in Vektorräumen. Eine Norm ist eine Funktion, die jedem Vektor eine nichtNegative Zahl zuordnet und dabei drei Eigenschaften erfüllt: Positivität und Definitheit, Homogenität (Skalierung massgeblich) sowie die Dreiecksungleichung. Normen liefern somit eine abstrakte Länge bzw. Größenordnung von Vektoren und dienen auch als Abstandsmessungen.

Für Vektorräume sind die p-Normen besonders verbreitet. Die allgemeine Definition lautet: Für einen Vektor x mit Komponenten x_i ist die p-Norm ||x||_p = (sum_i |x_i|^p)^(1/p) für p ≥ 1. Typische Beispiele sind die L1-Norm (summe der Beträge der Komponenten), die L2-Norm oder Euclidean-Norm (Wurzel aus der Summe der Quadrate) sowie die L∞-Norm (Maximum der Beträge der Komponenten). Allgemein gilt p ≥ 1; für p = ∞ erhält man die L∞-Norm.

Bei Matrizen unterscheidet man zwischen Normen, die durch Vektor Normen induziert werden, und speziellen Matrizennormen wie der Frobenius-Norm. Zu den häufig genutzten Matrizennormen gehören die 1-Norm (maximale Spalten-Summen), die ∞-Norm (maximale Zeilen-Summen) sowie die Frobenius-Norm (Wurzel aus der Summe der Quadrate aller Elemente). Das induzierte 2-Norm (auch Operatornorm genannt) entspricht dem größten Singulären Wert der Matrix.

Normberechnungen finden Anwendung in Numerik, Optimierung und Data Science, etwa zur Regularisierung, Konditionsanalyse oder Abstandsberechnungen. In der Praxis werden Normen mit Softwarefunktionen berechnet, etwa durch Funktionen zur Normbestimmung in Numerik-Bibliotheken.