Flächeninhalten

Flächeninhalte bezeichnen in der Geometrie die Größen zweidimensionaler Bereiche in der Ebene. Der Flächeninhalt eines Gebietes ist eine Maßeinheit für dessen Ausdehnung und unterscheidet sich vom Umfang, der lediglich die Randlänge misst. Eigenschaften des Flächeninhalts sind Unterteilung und Additivität: Ist eine Fläche A in disjunkte Teilflächen zerlegt, gilt die Summe der Flächeninhalte der Teile gleich dem Flächeninhalt der Ganzfläche. Der Flächeninhalt ist invariant gegenüber Translationen und Rotationen, das heißt Verschiebung oder Drehung verändern den Flächeninhalt nicht. Bei einer Skalierung des Abbilds mit Faktor k verändert sich der Flächeninhalt um den Faktor k^2.

Berechnungsmethoden: Für gängige Formen gelten Standardformeln. Rechteck: A = l · w; Quadrat: A = s^2; Dreieck: A = 1/2 · b · h; Parallelogramm: A = Grundseite · Höhe; Trapez: A = 1/2 · (a + b) · h; Kreis: A = π r^2; Ellipse: A = π a b. Für beliebige Polygone lässt sich der Flächeninhalt aus Koordinaten der Eckpunkte berechnen, z. B. A = 1/2 |Σ_i (x_i y_{i+1} − x_{i+1} y_i)|. Allgemein lässt sich der Flächeninhalt durch ein zweidimensionales Integral definieren: A(R) = ∬_R dA.

Beispiele und Anwendungen: Flächeninhalte spielen eine zentrale Rolle in Architektur, Land- und Stadtplanung, Kartografie und Computergraphik. Die Maßeinheit ist Quadratmeter (m^2) oder Quadratkilometer (km^2); größere und kleinere Flächen werden entsprechend skaliert. In der Mathematik gehört der Flächeninhalt zur zweidimensionalen Maßtheorie und dient als grundlegender Baustein für Integrale und Geometrie.