Gitterknoten

Gitterknoten, auch als lattice knots bezeichnet, sind Knotentypen in der Knotentheorie, die durch eine geschlossene, selbst-kollisionsfreie Polygonlinie realisiert werden, deren Kanten entlang der Achsen eines kubischen Gitters verlaufen. Im dreidimensionalen Raum R^3 wird das Gitter als Z^3 betrachtet. Zwei Gitterknoten sind äquivalent, wenn sie durch eine stetige Verformung des Raums (Ambientisotopie) in einander überführbar sind, ohne dass Kanten sich schneiden oder die Kurve durch sich selbst hindurch verschoben wird.

Zur Konstruktion verwendet man typischerweise einen geschlossenen, selbst-avoiding Weg auf dem kubischen Gitter. Die Kanten verlaufen nur entlang der x-, y- oder z-Achse; die Enden treffen sich so, dass eine geschlossene Kurve entsteht. Durch Umbiegen, Verlängern oder Verkürzen des Weges lassen sich verschiedene Knotentypen darstellen. Häufig betrachtet werden Gitterknoten mit einer festen Anzahl von Kanten, wobei der Minimalwert für einen bestimmten Knotentyp eine Forschungsfrage ist.

Gitterknoten dienen als vereinfachtes Modell in der Polymerphysik und Molekularbiologie, um knotenbildende Prozesse in Makromolekülen zu simulieren. In der Mathematik dienen sie der algorithmischen Klassifikation von Knotentypen, der Abschätzung von Enumerationen und der Berechnung von Invarianten, die aus Projektionen der Gitterknoten auf eine Ebene gewonnen werden können. Die Forschung beschäftigt sich mit der Zählung von Gitterknoten mit n Kanten, der Bestimmung von Wachstumsraten und offenen Fragen nach minimalen Kanten für bestimmte Knotentypen.

Zusammenfassend bieten Gitterknoten eine standardisierte, rechnerisch gut zugängliche Darstellung von Knotentypen, die eine Brücke zwischen theoretischer Knotentheorie und praktischer Modellierung schlagen. Verwandte Konzepte sind Selbst-Avoiding Walks auf Gittern und Gitterdiagramme.