Knotentypen

Ein Knotentyp ist in der Knotentheorie die Äquivalenzklasse von Knoten unter Ambient-Isotopie. Ein Knoten ist eine geschlossene, nicht selbst durchstichende Kurve im dreidimensionalen Raum. Zwei Knoten gehören demselben Knotentyp an, wenn einer durch kontinuierliche Verformung des Raums ohne Zuschneiden in den anderen überführt werden kann.

Knotentypen lassen sich nach ihrer Struktur unterscheiden: Primknoten sind nicht als Verkettung zweier Nichttrivialer darstellbar; zusammengesetzte Knoten entstehen durch Verkettung zweier Knoten. Weitere Klassen sind Torusknoten T(p,q) mit gcd(p,q)=1; Satellitenknoten, die in einem verknäulten Torus enthalten sind; und hyperbolische Knoten, deren Komplement im dreidimensionalen Raum hyperbolisch ist und oft ein Hypervolumen besitzt.

Beispiele: Der Trefoilknoten ist der einfachste nichttriviale Knotentyp und gehört zu den Torusknoten T(2,3). Der Figure-eight-Knoten ist der einfachste hyperbolische Knoten und kein Torus- oder Satellitenknoten.

Invarianten dienen der Unterscheidung von Knotentypen. Zur Verfügung stehen die minimale Kreuzungszahl c(K) der Projektion, das Alexander-Polynom, das Jones-Polynom und das HOMFLY-PT-Polynom. Das hyperbolische Volumen des Knotenkomplements ist eine weitere charakteristische Größe. Manche Knoten sind chirale (sie unterscheiden sich von ihrer Spiegelung), andere achiral.

Knotentabellen ordnen Knoten nach zunehmender Komplexität; bedeutende Sammlungen sind die Rolfsen-Tabelle sowie die Hoste-Thistlethwaite-Weeks-Tabelle, die Knoten bis zu bestimmten Kreuzungszahlen aufführen.

Anwendungen finden sich in Mathematik, Physik, Chemie und Biologie, wo Knoten als Modelle für Moleküle, DNA-Strukturen und andere Strukturen dienen.