Geometrías

Geometrías es un término que agrupa las diversas teorías y enfoques que estudian las propiedades y relaciones de puntos, líneas, superficies y volúmenes en el espacio, así como en espacios abstractos. Su marco típico es el método axiomático, que busca describir invariantes y estructuras geométricas mediante reglas explícitas.

Geometría euclidiana: la forma clásica de geometría en un espacio plano o tridimensional, basada en los axiomas de Euclides y en el postulado de las paralelas. Permite medir longitudes, ángulos y áreas, y estudiar congruencia, semejanza y teselación.

Geometrías no euclidianas: cuando se altera o excluye el postulado de las paralelas, surgen geometrías como la hiperbólica y la elíptica (o esférica). En la hiperbólica hay infinitas paralelas a una recta dada; en la elíptica, todas las rectas se cierran y no existen paralelas.

Otras ramas: geometría afín (preserva rectas y razones de segmentos, pero desatiende distancias y ángulos), geometría proyectiva (propiedades invariantes ante proyecciones y puntos en el infinito), geometría diferencial (uso de cálculo en curvas y variedades), geometría algebraica (ecuaciones polinómicas y objetos geométricos; variedades y esquemas). También existen geometrías computacionales y discretas relevantes en informática.

Las geometrías tienen aplicaciones en física (relatividad y gravedad), ingeniería, diseño asistido por computadora, gráficos por computadora, robótica y cartografía, entre otras. La investigación continúa expandiendo los conceptos geométricos mediante enfoques algebraicos, analíticos y numéricos, y su marco axiomático facilita la comunicación entre teorías diversas.