Geometrieën

Geometrieën vormen een verzamelterm voor de verschillende geometrische systemen die in de wiskunde worden bestudeerd. Geometrie onderzoekt de eigenschappen en relaties van ruimten, figuren en meetbare grootheden zoals afstand en hoek. Door uiteenlopende axioma’s ontstaan verschillende modellen van ruimte, elk met eigen stellingen en methoden.

Euclidische geometrie is het klassieke systeem waarin ruimte wordt beschreven met meetbare afstanden en hoeken in een vlak of in drie dimensies, volgens de orthogonale postulaat en de stelling van de parallellen. In dit systeem gelden de traditionele regels van afstand, hoeken en congruentie.

Niet-Euclidische geometrieën omvatten hyperbolische en elliptische geometrie, waarbij de parallelpostulaat niet waar is. Deze systemen leiden tot andere eigenschappen van hoeken, afstanden en tekenschema’s, en tonen aan dat de aannames over ruimte centrale verschillen bepalen in wiskundige consequenties.

Andere georiënteerde systemen zijn projectieve geometrie, die eigenschappen behoudt onder projecties en de nadruk legt op punten, lijnen en incidencias, en affine geometrie, waarin lijnen en verhoudingen wel behouden blijven maar afstand en hoeken kunnen variëren. Differentiale geometrie bestudeert meetkundige objecten met behulp van calculus, zoals krommen, oppervlakken en manifolds, vaak met een metrische structuur zoals een Riemann-metriek.

Historisch gezien begon geometrie bij de Grieken en werd later uitgebreid door axioma’s en logische redenering. In de moderne tijd hebben geometrieën toepassingen in wiskundig onderzoek, computer graphics, natuurkunde (bijvoorbeeld algemene relativiteit) en ingenieurswetenschappen.