Fouriertransformationen

Die Fouriertransformationen bezeichnen eine Familie von mathematischen Verfahren, mit denen sich Funktionen oder Signale aus dem Zeitbereich in den Frequenzbereich überführen lassen. Ziel ist es, die im Signal enthaltenen Frequenzkomponenten zu identifizieren und zu analysieren. Die kontinuierliche Fourier-Transformation (FT) heißt F(ω) = ∫_{-∞}^{∞} f(t) e^{-i ω t} dt, und die inverse Transformation ist f(t) = (1/2π) ∫_{-∞}^{∞} F(ω) e^{i ω t} dω. Die Definitionen unterscheiden sich in der Normalisierung, weshalb oft 1/√(2π) oder andere Konstanten in beiden Richtungen verwendet werden.

Für digitale oder endliche Daten kommt überwiegend die diskrete Fourier-Transformation (DFT) zum Einsatz: F_k = ∑_{n=0}^{N-1} f_n e^{-i 2π kn / N}, mit der inversen Form f_n = (1/N) ∑_{k=0}^{N-1} F_k e^{i 2π kn / N}. Die schnelle Fourier-Transformation (FFT) ist ein Algorithmus, der die Berechnung der DFT effizient ermöglicht, typischerweise mit komplexitätsmäßiger Ordnung O(N log N).

Zusammen mit der Fourier-Reihe, die periodische Signale zerlegt, bildet die FT die zentrale Methode zur Frequenzanalyse. Die DFT behandelt endliche, diskrete Signale, während die 2D-Fouriertransformation in der Bildverarbeitung auch räumliche Frequenzen analysiert. Eigenschaften wie Linearität, Zeitverschiebung, Frequenzverschiebung, das Faltungs- bzw. das Parseval-Theorem erlauben eine direkte Verbindung zwischen Zeit- bzw. Raumdiagrammen und deren Spektren. Anwendungen reichen von Audiosignalen und Bildverarbeitung über Kommunikation, Spektroskopie bis hin zur Lösung von Differentialgleichungen.

Historisch geht die Methode auf Joseph Fourier im 19. Jahrhundert zurück, der sie zur Lösung des Wärmeleitungsproblems entwickelte. Einschränkungen ergeben sich bei nicht-stationären Signalen; hier werden zeit-frequenzliche Methoden wie das Short-Time Fourier Transform oder Wavelets bevorzugt.