Filtertheorie

Filtertheorie ist ein Teilgebiet der Signalverarbeitung und Systemtheorie, das sich mit Methoden zur Beeinflussung von Signalen durch Filter beschäftigt. Ziel ist es, Frequenzinhalte zu unterdrücken oder zu betonen, um Signale zu rekonstruieren, zu analysieren oder zu verarbeiten.

In der mathematischen Grundlage werden Filter oft als linear zeitinvariante Systeme modelliert. Ein kontinuierliches Zeitfilter wird durch die Impulsantwort h(t) oder die Transferfunktion H(s) beschrieben; in der diskreten Zeit durch h[n] und H(z) bzw. die Z-Transformierte. Die Frequenzantwort ergibt sich aus H(jω) bzw. H(e^{jΩ}). Wichtige Eigenschaften sind Stabilität (BIBO-Stabilität), Kausalität und Phasenverhalten. Typische Filterarten sind Tiefpass-, Hochpass-, Bandpass- und Notch-Filter. Digitale Filter lassen sich als Finite Impulse Response (FIR) oder Infinite Impulse Response (IIR) realisieren. Realisierungen berücksichtigen Anforderungen wie Passband- und Stopbandverhalten, Grenzfrequenz, Dämpfung, Phasencharakteristik und Rechenaufwand.

Design- und Implementierungsmethoden umfassen die Diskretisierung analoger Filter in digitale Systeme sowie Fenster- und Optimierungsverfahren (z. B. Parks–McClellan-Algorithmus) oder Transformationsmethoden wie die bilineare Transformation oder Impulsinvarianz. Anwendungen finden sich in Audio- und Sprachverarbeitung, Telekommunikation, Regelungstechnik und Bildverarbeitung.

Erweiterungen der Filtertheorie umfassen adaptive Filter, die Koeffizienten anhand von Beobachtungen anpassen (z. B. LMS, RLS), sowie spezielle Filter wie Wiener- oder Kalman-Filter zur Schätzung oder Rauschunterdrückung in unsicheren Messungen.

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