Exponentiação

Exponentiação é a operação que eleva um número a uma potência. Na notação comum, um^b representa a base a elevada ao expoente b. Quando b é inteiro não negativo, a^b é obtida pela multiplicação repetida. Para expoentes racionais ou reais não inteiros, a definição envolve funções exponenciais e logaritmos e depende de a ser positivo.

Para bases positivas (a>0), pode-se definir a^b para qualquer b real como exp(b ln a). Quando a é negativo, a^b pode não ser real, salvo em casos em que b é racional com denominador ímpar. Em números complexos, a^b é definido por a^b = exp(b Log a), onde Log é o logaritmo complexo, resultando em valores múltiplos devido à multivaluidade do logaritmo.

Propriedades comuns incluem: a^m a^n = a^{m+n} (com base positiva e expoentes reais), (a^m)^n = a^{mn} e (ab)^n = a^n b^n; também, a^{-n} = 1/a^n e a^0 = 1 para a ≠ 0. 0^0 é considerado indefinido em muitos contextos. As identidades podem exigir condições adicionais quando as bases ou os expoentes não são positivos.

História e aplicações: o conceito deriva da multiplicação repetida e foi formalizado com a notação de potências na matemática moderna. O expoente natural e o inteiro foram amplamente desenvolvidos; expoentes reais e logaritmos permitiram a definição moderna com exp(b ln a). A exponenciação é central em finanças (juros compostos), modelagem de crescimento e cálculo (d/dx a^x = a^x ln a; ∫ a^x dx = a^x/ln a). O número e, base natural, aparece como base especial da exponenciação contínua.