potências

Potências, ou expoentes, expressam multiplicação repetida de uma base por si mesma. Na notação a^n, a é a base e n o expoente. Se n é um inteiro não negativo, a^n representa o produto de n fatores de a. Ex.: 2^3 = 8 e (-3)^2 = 9. Por convenção, a^0 = 1 para toda base não nula. O caso 0^0 é indeterminado em muitos contextos.

As leis das potências ajudam a simplificar expressões. a^m · a^n = a^{m+n} (a ≠ 0, m,n inteiros). (a^m)^n = a^{mn} (a ≠ 0, n inteiro). (ab)^n = a^n b^n (n inteiro). Exponentes negativos: a^{-n} = 1/a^n, com a ≠ 0.

Potências com expoentes racionais: a^{p/q} = (a^p)^{1/q} = a^{1/q}^p, equivalentes à p/q da relação entre potências e raízes. Com q > 0, para raízes pares é necessário que a ≥ 0 nos reais.

Extensões incluem expoentes reais e complexos, definidas por meio de funções exponenciais e logaritmos, permitindo interpretar potências como limites e relações entre crescimento.

Aplicações: potências aparecem em cálculos de crescimento exponencial, escalas científicas, finanças, física e computação. O conjunto de potências facilita converter multiplicação em somas e simplificar expressões algébricas por meio de propriedades de expoentes. Em bases negativas com expoentes racionais que não são inteiros, é necessário cuidado com o significado no conjunto dos reais.