exponenciação

Exponenciação é a operação matemática que associa uma base a e um expoente b, escrita como a^b. Para expoentes inteiros não negativos, a^n é definida pela multiplicação repetida: a^n = a × a × ... × a (n termos), com a^0 = 1 (para a ≠ 0). Expoentes negativos são definidos por a^(-n) = 1 / a^n. Para expoentes racionais p/q com q > 0, quando a > 0, a^(p/q) é a raiz q-ésima de a^p; por exemplo, a^(1/2) é a raiz quadrada de a. Quando a é negativa e o expoente não é inteiro, a expressão pode não ter valor real.

Propriedades básicas incluem as leis dos expoentes: a^m · a^n = a^{m+n}; (a^m)^n = a^{mn}; (ab)^m = a^m b^m; (a/b)^m = a^m / b^m; e a^0 = 1 (a ≠ 0). O valor 0^0 é indeterminado em muitos contextos. A definição de a^b para a > 0 e b real pode ser escrita como exp(b ln a).

Extensões importantes envolvem a base positiva: a^b pode ser definida como exp(b ln a). A função exponencial natural e^x é a exponencial com base e, tendo derivada igual a si mesma. O logaritmo log_a(x) é a função inversa de a^x. O comportamento de a^x depende da base: para a > 1, cresce com x; para 0 < a < 1, decresce.

Aplicações comuns vão desde crescimento e decaimento populacionais e juros compostos até resolução de equações exponenciais, modelagem de fenômenos naturais e análise de algoritmos. Exemplos: 2^3 = 8; 5^0 = 1; (-2)^3 = -8; 2^(-2) = 1/4; 4^(1/2) = 2.