Expoentes

Expoentes, ou potências, referem-se à operação de elevar uma base a uma potência. A expressão a^n indica que a é multiplicado por si mesmo n vezes quando n é um inteiro não negativo. Em termos simples, o expoente n informa quantas cópias de a devem ser multiplicadas. Quando n é negativo, a^n representa o recíproco de a^{-n}. Em termos práticos, 2^3 = 8, 5^0 = 1 e 7^-2 = 1/49.

Quando o expoente é fracionário, surgem raízes: a^(1/n) é a raiz n-ésima de a. Em geral, a^(m/n) é a raiz n-ésima de a elevada à potência m, desde que a>0 para assegurar valores reais. Para expoentes reais x, a^x é definido como e^{x ln a} quando a>0, o que estende a definição a qualquer número real de expoentes.

Existem algumas regras fundamentais dos expoentes, chamadas leis dos expoentes. Entre elas estão: a^m a^n = a^{m+n}; (a^m)^n = a^{mn}; (ab)^n = a^n b^n; (a/b)^n = a^n / b^n. Essas leis são válidas para bases positivas quando se trabalha com expoentes reais; para bases não positivas surgem exigências adicionais.

A relação entre expoentes e logaritmos é de inversão: o logaritmo de b na base a, log_a(b), é o reverso da função exponencial a^x, ou seja, é o valor de x que satisfaz a^x = b.

Aplicações dos expoentes vão desde o crescimento e decaimento exponencial na ciência até a notação científica, finanças e computação. Em termos gerais, os expoentes expandem a forma como expressamos grandes números, taxas de variação e funções exponenciais.