logaritmo

El logaritmo es una función matemática que representa la inversa de la exponenciación. Para una base b mayor que 0 y distinta de 1, el logaritmo de un número x > 0, denotado como log_b(x), es el número y que cumple b^y = x. En otras palabras, log_b(x) = y cuando b^y = x. El dominio de log_b es x > 0 y su rango es el conjunto de los números reales.

Las leyes básicas permiten convertir productos en sumas y potencias en multiplicaciones: log_b(xy) = log_b x + log_b y; log_b(x^k) = k log_b x. Además, log_b(1) = 0 y log_b(b) = 1. La base determina la monotonía de la función: es creciente si b > 1 y decreciente si 0 < b < 1. Su gráfico tiende hacia el menos infinito cuando x se aproxima a 0+, y hacia el más infinito cuando x crece, con log_b(1) = 0.

Cambio de base: log_b x = log_k x / log_k b para cualquier base k > 0, k ≠ 1. Bases comunes: ln x es el logaritmo natural (base e), log x o log_10 x es el logaritmo común (base 10), y log_2 x se usa en informática.

Aplicaciones: permiten resolver ecuaciones exponenciales, modelar crecimiento y decaimiento, y escalar magnitudes en ciencias. También aparecen en áreas como pH, intensidad de sonido y teorías de información.

Historia breve: los logaritmos fueron introducidos por John Napier en 1614 y popularizados en su forma decimal por Henry Briggs a partir de 1617.