Erweiterungsfunktionen

Erweiterungsfunktionen sind Konzepte aus der Mathematik, bei denen eine Funktion, die auf einer Teilmenge definiert ist, so erweitert wird, dass sie auf einem größeren Definitionsbereich gilt. Dabei bleibt die ursprüngliche Funktionswertzuordnung auf der ursprünglichen Teilmenge erhalten, das heißt, die Erweiterung F erfüllt F|A = f, wobei f die ursprüngliche Funktion auf A ist und F auf X definiert wird, wobei A ⊆ X.

In der Praxis unterscheiden sich Erweiterungen nach dem geforderten Glattheits- oder Kontinuitätsgrad sowie nach dem zugrunde liegenden Raum. In der Topologie bedeutet dies oft, dass eine stetige Funktion auf einer abgeschlossenen Teilmenge A eines Raumes X zu einer stetigen Funktion F auf ganz X erweitert wird. Zentrale Sätze hierzu sind die Tietze-Erweiterungstheoreme, die besagen, dass jede beschränkte stetige Funktion von einer abgeschlossenen Teilmenge eines normalen Topologieraums in eine gesamte Raumfunktion erweitert werden kann, ohne die Schranke zu überschreiten. Für glatte Funktionen gibt es Whitney-Erweiterungssätze, die die Fortsetzung von Funktionen aus abgeschlossenen Teilmengen von Realraumräumen in C^m-Funktionen ermöglichen, wobei Glattheit und Steuerung der Ableitungen erhalten bleiben.

Im Funktionalismus spricht man oft von Erweiterungsoperatoren. Ein Erweiterungsoperator E: C(A) → C(X) ist eine lineare, oft stabile Abbildung, die eine Funktion auf A zu einer Funktion auf X erweitert und dabei E(f)|A = f erfüllt. Spezielle Fälle sind Lipschitz-Erweiterungen (McShane- und Kirszbraun-Sätze), die Lipschitz-Eigenschaften unverändert lassen.

Anwendungen finden sich in der Analysis, Approximation, Interpolation, Lösung von Randwertaufgaben in Differentialgleichungen sowie in der Datenverarbeitung und Geometrie, wo oft Funktionen von Teilmengen auf größere Domänen fortgesetzt werden müssen.