Equalizerfuncties

Equalizerfuncties zijn een wiskundig concept dat vooral voorkomt in verzamelingenleer en de categorie theorie. Voor twee functies f en g van X naar Y, f, g: X → Y, is de equalizer de subset E van X bestaande uit alle elementen x waarvoor f(x) = g(x). De bijbehorende equalizerfunctie i: E → X is de inclusie van deze subset in X. Eigenschap: f ∘ i = g ∘ i.

Naast deze constructie heeft de equalizer een universele eigenschap. Als h: Z → X een willekeurige kaart is waarvoor f ∘ h = g ∘ h, dan bestaat er uniek een kaart u: Z → E met h = i ∘ u. Met andere woorden kan elke kaart waardoor f en g samen gelijk worden, door de equalizer via i factoriseren; dit illustreert de universaliteit van de constructie.

Voorbeelden helpen de intuïtie. In de集合-wereld: f(n) = n^2 en g(n) = 0 als functies van de reële getallen R naar R. De gelijkheidsvoorwaarde f(x) = g(x) geeft x^2 = 0, dus E = {0} en i: {0} → R is de inclusie. In groepentheorie kan men spreken over f, g: G → H als groep homomorphismen; de equalizer is de verzameling {x in G | f(x) = g(x)}, een subgroep van G. In een additieve context is de equalizer vaak het kernel-achtig object van f − g.

Categorieën waarin equalizers bestaan, vormen limieten: de equalizer is een bepaald soort limit van het diagram f, g: X → Y. In Set bestaat het als bovengenoemde subset; in topologische ruimten krijgt de equalizer de subruimtopologie. Equalizerfuncties leveren zo een formele manier om gelijktijdige gelijkheid van twee functies vast te leggen en te bestuderen.