Einheitsvarianz

Einheitsvarianz bezeichnet den Zustand, in dem eine Zufallsvariable so transformiert wird, dass ihre Varianz gleich eins ist. Sei X eine Zufallsvariable mit Erwartungswert E[X] = mu und Varianz Var(X) = sigma^2 > 0. Die Standardisierung Z = (X - mu) / sigma hat E[Z] = 0 und Var(Z) = 1. Variablen mit Einheitsvarianz werden häufig als standardisiert bezeichnet und dienen der Vergleichbarkeit unterschiedlicher Merkmale.

Eine zentrale Anwendung findet sich in der Normalverteilung: Wenn X ~ N(mu, sigma^2) ist, folgt Z = (X - mu)/sigma einer Standardnormalverteilung N(0,1). Dadurch lassen sich Wahrscheinlichkeiten und Quantile über die Standardnormalverteilung berechnen, ohne mu und sigma direkt zu kennen.

Außerdem wird die Einheitsvarianz in vielen statistischen Methoden verwendet, um Skalierungseffekte zu vermeiden. In der Praxis kommt die Z-Transformation zum Einsatz, bevor Algorithmen wie Regression, Principal Component Analysis oder Clustering durchgeführt werden. Standardisierung sorgt dafür, dass Merkmale mit unterschiedlicher Skala vergleichbar werden; sie beeinflusst die Rangordnung oder die linearen Beziehungen nicht, ändert aber die Varianz der Merkmale.

Die Einheitsvarianz ist nicht von der Einheit eines Merkmals abhängig. Für eine lineare Transformation X' = a + bX gilt Var(X') = b^2 Var(X). Die Standardisierung nutzt daher eine inverse Standardabweichung 1/sigma, um Varianz auf 1 zu bringen. Outliers können die Schätzung von mu und sigma verzerren, weshalb robuste Varianten wie Median und MAD verwendet werden.

Begriffe wie Einheitsvarianz sind zentral in Statistik, Wahrscheinlichkeitstheorie sowie maschinellem Lernen. Sie unterstützen Vergleichbarkeit von Variablen, erfordern jedoch bei Verteilungen mit unendlicher Varianz oder stark schiefen Merkmalen einen vorsichtigen Umgang.