Dynamikgleichungen

Dynamikgleichungen beschreiben die zeitliche Entwicklung von Systemen durch mathematische Gleichungen. Typischerweise geben sie die Änderungsrate von Größen in Abhängigkeit von ihrem aktuellen Zustand und von äußeren Einflüssen an. Am häufigsten treten sie als gewöhnliche Differentialgleichungen (ODEs) auf, es können aber auch Differenzengleichungen (bei diskreten Zeitabläufen) oder partielle Differentialgleichungen (PDEs) vorkommen. Man unterscheidet lineare und nichtlineare, homogene und inhomogene sowie autonome und nicht-autonome Gleichungen.

Eine typische ODE hat die Form dy/dt = f(y,t). Mehrdimensionale Systeme werden als Zustandsdynamik in der Form dx/dt = f(x,u,t) beschrieben, wobei u Eingangsgrößen sein können. Beispiele: die Newtonsche Bewegungsgleichung m d^2x/dt^2 = F(x,t) oder das logistische Wachstumsmodell dN/dt = rN(1 - N/K). Differenzengleichungen modellieren Systeme in diskreter Zeit, z. B. rekursive Beziehungen.

Lösungen von Dynamikgleichungen hängen von Anfangs- oder Randbedingungen ab. Analytische Lösungen existieren für einfache, insbesondere lineare Gleichungen; komplexe Systeme erfordern qualitative Analysen (Phasenraum, Stabilität) oder numerische Verfahren wie das Euler-Verfahren oder Runge-Kutta-Methoden.

Anwendungen finden sich in vielen Bereichen, darunter Mechanik, Elektrotechnik, Biologie, Ökonomie und Epidemiologie. Die Entwicklung geht auf die klassische Mechanik und die Arbeiten von Newton, Euler, Lagrange und Hamilton zurück. Dynamikgleichungen bilden das Fundament moderner Modellierung, Simulation und Regelungstechnik.