Domeinrand

Domeinrand is een term uit de wiskunde die verwijst naar de rand van een domein in een Euclidische ruimte. Voor een domein Ω ⊂ R^n is de domeinrand ∂Ω de verzameling punten die eventueel zowel vanuit Ω als vanuit het buitengebied benaderd kunnen worden. Als Ω een open verzameling is, geldt ∂Ω = cl(Ω) \ Ω, waarbij cl(Ω) de afsluiting van Ω is. De rand kan delen bevatten waar de local eigenschappen regulariteit, geometrie en meetgegevens bepalen.

De regularties van de rand is van belang in analyse en numerieke methoden. Bij voldoende regelmatige randen kunnen normale vectoren n(x) en tangenten luid genoeg gedefinieerd worden, wat nodig is voor randvoorwaarden en fluxberekeningen. Randvoorwaarden zoals Dirichlet (u = g op ∂Ω) en Neumann (∂u/∂n = h op ∂Ω) worden doorgaans opgelegd op de domeinrand in oplossingsproblemen voor deelverschijningsvergelijkingen (PDE’s). De rand speelt ook een centrale rol in stelsels van Green, de divergence-theorema en in-oppervlakte integralen.

In termen van maat en dimensionering heeft ∂Ω in R^n een (n−1)-dimensionale maat. In twee dimensies is dit de lengte van de rand; in drie dimensies is het de oppervlakte van ∂Ω. Randtypes variëren van volledig glad tot Lipschitz-contouren en polygonale randen met hoeken, wat leidende implicaties heeft voor de oplossingsregulariteit en numerieke foutanalyses.

Toepassingen komen veel voor in meshing en rechte randrepresentatie voor computational engineering, waar de correcte beschrijving van ∂Ω cruciaal is voor het opleggen van randvoorwaarden en het bepalen van grenswaarden in simulaties. Voorbeelden zijn het eenheidsdraad in R^2 (∂Ω = cirkel) of een kubus in R^3 (∂Ω bestaat uit zes vlakken).