Lipschitzcontouren

Lipschitzcontouren sind Kurven in der Ebene, deren Parametrisierung eine Lipschitz-Funktion ist. Formal ist eine Kurve gamma von einem Intervall [a,b] in den zweidimensionalen Raum Lipschitz, wenn es eine Konstante L ≥ 0 gibt, so dass für alle s,t in [a,b] gilt: |gamma(t) - gamma(s)| ≤ L|t - s|. Solche Kurven sind automatisch absolut stetig und besitzen eine fast überall existierende Ableitung, deren Betrag höchstens L ist. Die Länge der Kurve ist endlich und höchstens L(b - a). Gegebenenfalls lässt sich eine Lipschitzkurve auch mit einer Parametrisierung nach Bogenlänge darstellen.

In der komplexen Analysis und in der Theorie der partiellen Differentialgleichungen spielen Lipschitzkonturen eine wichtige Rolle. Sie ermöglichen gut definierte Linienintegrale und gelten als geeignetes Randmaß für Randwertprobleme. Lipschitzkonturen dürfen Eckpunkte haben, sind aber frei von extrem unregelmäßigen Strukturen, die Unbestimmtheit bei Integrationen verursachen würden.

Beispiele für Lipschitzkonturen sind der Einheitskreis, der durch gamma(t) = (cos t, sin t) parametrisiert wird, sowie Stückweise glatte Kurven wie Polygone. Nicht-Lipschitz-Konturen umfassen manche Fraktale, deren Rand unendliche Länge besitzt, wie der Koch-Snowflake-Kontur. Solche Kurven sind nicht Lipschitz und kommen daher in bestimmten analytischen Theorien nicht in der selben Weise zum Einsatz.

Verwandte Begriffe sind Lipschitz-Stetigkeit, rechteckige bzw. gebrochene Kurven sowie Lipschitz-Domänen, deren Rand Lipschitz ist.