oplossingsregulariteit

Oplossingsregulariteit, in the Dutch literature often referred to as de regulariteit van oplossingen, is de studie van de mate van gladheid of differentiability van een oplossing van een differentiaalvergelijking of variational probleem. Het beschrijft in welke functionele klas de oplossing thuishoort (bijvoorbeeld onderscheid tussen continuïteit, differentieerbaarheid in klassieke zin of in sobolev- en Hölder-ruimten) en hoe deze regulariteit afhangt van de data van het probleem.

De regulariteit van oplossingen is afhankelijk van het type vergelijking (elliptisch, parabolisch, hyperbolisch), de eigenschappen van de coefficients, de regelmaat van de rand en de inhomogene termen. Een belangrijke vraag is of een oplossing, die in een basale ruimtelijke of tijd-ruimtelijke setting aanwezig is, juist meer smoothheid bezit dan de data voorschrijven. Dit wordt vaak aangetoond via a priori schattingen en bootstrapping technieken.

Bij elliptische problemen leveren klassieke resultaten zoals elliptische regulariteit en Schauder-schatteringen op dat, onder geschikte randvoorwaarden en smoothness van de coëfficiënten en right-hand side, zwakke oplossingen in betere ruimtes belanden (bijvoorbeeld van W^{1,2} naar W^{2,p} of C^{1,α}). De De Giorgi-Nash-Moser-theorema’s tonen Hölder-continuïteit van oplossingen aan bij ruige coefficients. Calderón-Zygmund-resultaten geven bovendien L^p-regulariteit. Bij parabolische problemen geldt een soortgelijke smoothing in tijd en ruimte.

Oplossingsregulariteit is van belang voor de stabiliteit van oplossingen, de well-posedness van problemen en de nauwkeurigheid van numerieke methoden. Zie ook regulariteitstheorie, sobolev- en Hölder-ruimten.