Distanzkorrelation

Distanzkorrelation, englisch distance correlation (dCor), ist ein statistisches Maß zur Quantifizierung der Abhängigkeit zwischen Zufallsvektoren. Es wurde von Székely, Rizzo und Bakirov im Jahr 2007 eingeführt. Im Gegensatz zu klassischen Maßzahlen wie dem Pearson-Korrelationskoeffizienten kann Distanzkorrelation auch nichtlineare Abhängigkeiten zwischen Variablen erkennen. Eine zentrale Eigenschaft ist: X und Y sind genau dann unabhängig, wenn die Distanzkorrelation gleich Null ist, vorausgesetzt angemessene Regularitäten erfüllen die Randverteilungen.

Zur Berechnung nutzt man Stichprobendaten X1,...,Xn und Y1,...,Yn. Es werden die euklidischen Abstände a_ij = ||Xi - Xj|| und b_ij = ||Yi - Yj|| gebildet. Diese Distanzmatrizen werden zentriert, etwa durch A_ij = a_ij - a_i· - a_·j + a·· und analog B_ij. Die Stichproben-Distanzenkovarianz ergibt sich als V_n^2(X,Y) = (1/n^2) Σ_i Σ_j A_ij B_ij. Die Stichproben-Distanzenvarianzen V_n^2(X) und V_n^2(Y) erhält man analog. Die Distanzkorrelation wird defini als R_n^2 = V_n^2(X,Y) / sqrt( V_n^2(X) V_n^2(Y) ), sofern die Varianzen positiv sind; andernfalls gilt R_n^2 = 0.

Eigenschaften: Distanzkorrelation nimmt Werte zwischen 0 und 1 an und ist Null genau dann, wenn X und Y unabhängig sind (in der Population). Sie erfasst sowohl lineare als auch nichtlineare Abhängigkeiten und gilt als konsistent für Unabhängigkeit, unabhängig von der Dimensionalität der Vektoren.

Anwendungen umfassen Unabhängigkeitstests, Merkmalsauswahl, explorative Datenanalyse und assoziationsbasierte Modellierung. Die Berechnung hat typischerweise eine Komplexität von O(n^2); bei großen Datensätzen kommen oft Approximationen oder effiziente Implementierungen zum Einsatz.