Displacementsfeld

Displacementsfeld, im Deutschen oft als displacementsfeld bezeichnet, beschreibt in der Kontinuumsmechanik, wie sich jeder Punkt eines Körpers von seiner Referenzlage zu einer aktuellen Lage bewegt. Es handelt sich um ein Vektorfeld u(X,t), wobei X die Referenzkoordinaten eines Materialpunkts und t die Zeit ist. Die Verschiebung eines Punktes wird durch u(X,t) = x(X,t) − X definiert, wobei x die aktuelle Position des Punktes ist.

Mathematisch lässt sich aus dem Displacementsfeld die Deformation des Körpers ableiten. Der Deformationsgradient F wird als F = ∂x/∂X = I + ∂u/∂X definiert. Für kleine Verformungen genügt die lineare Dehnung ε = sym(∇u) = 1/2(∇u + ∇u^T). Bei großen Verformungen verwendet man die Green-Lagrange-Dehnung E = 1/2(F^T F − I). Das Displacementsfeld ist damit die Grundlage zur Verknüpfung von Verformung mit innerer Spannung.

In der Dynamik gilt das Gleichgewicht der Impulse. Je nach Beschreibung variieren die Formeln: in der räumlichen Beschreibung lautet div σ + f = ρ ä, wobei σ der Cauchy-Stress, f die Volumenkräfte, ρ die Dichte und ä die Beschleunigung ist. In der Lagrange-Beschreibung verwendet man den ersten Piola-Kirchhoff-Stress P mit der Gleichung div_X P + b = ρ0 ä, wobei b die Referenzkräfte sind. Materialgesetze verknüpfen u mit der Spannung, zum Beispiel σ = C:ε in der linearen Elastizität, wobei C das elastische Moduls- bzw. Steifigkeitstensor ist.

Randbedingungen greifen an den Rand des Körpers: Verschiebungen u vorgegeben oder Tractionen (Kräfte pro Flächeneinheit) aufgetragen. Anwendungsbereiche sind Strukturmechanik, Geophysik, Biomechanik und Materialforschung, in denen Verformungen und daraus resultierende Spannungen beschrieben werden müssen.