Steifigkeitstensor

Der Steifigkeitstensor, auch Elastizitätstensor genannt, ist ein vierter Ordnung Tensor Cijkl, der in der linearen Elastizität den Zusammenhang zwischen Spannungen σij und Verzerrungen εkl herstellt. Im linearen Fall gilt σij = Cijkl εkl, wobei εij die symmetrische Verzerrung aus der Verschiebungskomponente ui abgeleitet ist: εij = 1/2 (∂ui/∂xj + ∂uj/∂xi).

Der Tensor besitzt wegen der Symmetrie der Spannung und der Verzerrung Minor-Symmetrien Cijkl = Cjikl und Cijlk = Cijkl sowie, sofern der elastische Beitrag aus einem Energiepotential stammt, Major-Symmetrie Cijkl = Cklij. Aufgrund dieser Symmetrien reduziert sich die Anzahl unabhängiger Komponenten je nach Material von 81 auf 21 für den allgemein anisotropen Fall in drei Dimensionen. In isotropen Materialien genügt der Tensor durch zwei unabhängige Konstanten λ und μ, sodass Cijkl = λ δij δkl + μ (δik δjl + δil δjk). Aus λ und μ lassen sich E (Elastizitätsmodul) und ν (Wurzelfüllig Poissonzahl) ableiten.

Die Positive-Definiteness des Tensors sichert die Stabilität des Materials: Die Verformungsenergie pro Volumen W = 1/2 εij Cijkl εkl ist positiv für alle nichttrivialen Verzerrungen. Die Voigt-Notation fasst den Tensor in eine 6×6-Matrix CIJ zusammen, wobei Cijkl zu CIJ entsprechend abgebildet wird; CIJ ist symmetrisch und besitzt eine Inverse S = C−1, die die Compliance-Tensor bezeichnet.

Anwendungen des Steifigkeitstensors finden sich in der Charakterisierung anisotroper Werkstoffe (z. B. Holz, Faserverbundwerkstoffe), der Finite-Elemente-Analyse sowie der experimentellen Bestimmung mechanischer Eigenschaften.