Diracdeltafunctie

De Dirac-deltafunctie, vaak deltafunctie genoemd, is een distributie of generalized function die nul is overal behalve op x = 0 en waarvan de integraal over het hele domein gelijk is aan 1. Het is geen gewone functie, maar een object dat uitdraagt hoe een puntinvoer werkt in integralen.

Formeel gezien is δ een distributie die werkt op testfuncties φ. In één variabele geldt δ(φ) = φ(0). In meerdere variabelen wordt δ^n(x) gedefinieerd als het product δ(x1)·…·δ(xn). Een belangrijkste eigenschap is de sifting- of samplings-eigenschap: ∫ δ(x) φ(x) dx = φ(0). Verschuivingen geven δ(x − x0) en schaalregels luiden δ(a x) = (1/|a|) δ(x) met ∫ δ(a x) φ(x) dx = (1/|a|) φ(0). De delta is ook even: δ(−x) = δ(x).

Representaties en limitaties: δ kan worden opgevat als de limiet van functies die naar een identiteiten-impuls toe convergeren. Voorbeelden zijn δ_ε(x) = (1/(√(2π) ε)) exp(−x^2/(2 ε^2)) met ε → 0. Andere benaderingen gebruiken rektangulaire of andere glijdende vensters; in elk geval convergeren ze in de verdelingszin naar δ.

Transformaties en afgeleiden: onder de Fourier-transformatie is de delta 黃 een constante (afhankelijk van de gebruikte normalisatie). De n-de afgeleide δ^(n) wordt gedefinieerd via δ^(n)(φ) = (−1)^n φ^(n)(0).

Toepassingen: impulsaansluitingen in lineaire tijdinvariante systemen, Green's-functies in differentiaalvergelijkingen, puntladingen in de natuurkunde en representaties in signaalverwerking en kwantummechanica.