Dichtheidsmatrix

Dichtheidsmatrix, of density matrix, is een wiskundige representatie van de statistische toestand van een quantum-systeem. Het beschrijft zowel zuivere toestanden als mengtoestanden en maakt de kansverdeling en coherentie in één object toegankelijk.

Een dichtheidsmatrix ρ is een operator op de Hilbertruimte en kan worden geschreven als ρ = ∑_i p_i |ψ_i⟩⟨ψ_i|, waarbij p_i ≥ 0 en ∑_i p_i = 1. Voor een zuivere toestand waarin het systeem met zekerheid in toestand |ψ⟩ verkeert geldt ρ = |ψ⟩⟨ψ|.

Belangrijke eigenschappen zijn: ρ is Hermitisch (ρ† = ρ), positief semidefinit en heeft trace gelijk aan 1, Tr(ρ) = 1. Verwachte waarden van een observabele A worden gegeven door ⟨A⟩ = Tr(ρ A). In een gekozen basis geven de diagonal elementen de meetkansen, terwijl de off-diagonale elementen de coherentie coderen.

In samengestelde systemen kan men een subsystem reduceren met de partiële trace: ρ_A = Tr_B(ρ_AB). Dit levert de toestand van deel A onafhankelijk van B.

Kenmerken zoals de puurheidsmaat Tr(ρ^2) ≤ 1 (gelijk aan 1 voor zuivere toestanden) en de Von Neumann entropie S(ρ) = −Tr(ρ log ρ) geven een maat voor menging. De tijdsontwikkeling van een gesloten systeem volgt dρ/dt = −(i/ħ)[H, ρ], en in open systemen worden aanvullende dissipatieve termen ingevoerd, bijvoorbeeld in de Lindblad-form.

Toepassingen omvatten quantum state tomography voor reconstructie van ρ, en een centrale rol in quantum informatietheorie en quantum computing. Een veelgebruikt model voor een qubit is ρ = (I + r · σ)/2, met Bloch-vector r en Pauli-matrices σ.