Datenverteilungen

Datenverteilungen, auch Wahrscheinlichkeitsverteilungen genannt, beschreiben, wie sich Werte einer Zufallsvariablen oder einer beobachteten Datengruppe über den Wertebereich verteilen. Sie ordnen jedem möglichen Wert eine Wahrscheinlichkeit zu und liefern Funktionen wie die Wahrscheinlichkeitsdichte (bei stetigen Verteilungen), die Wahrscheinlichkeitsfunktion (bei diskreten Verteilungen) sowie die Verteilungsfunktion F. In der Praxis unterscheidet man diskrete Verteilungen, bei denen Werte abzählbar sind, von stetigen Verteilungen, bei denen Werte kontinuierlich annehmbar sind. Parameter steuern Form, Lage und Streuung der Verteilung, zum Beispiel Mittelwert und Varianz.

Häufige Verteilungen sind die Normalverteilung, die Exponential- und Gamma-Verteilungen sowie die Uniformverteilung. Diskrete Beispiele sind Binomial- und Poisson-Verteilungen. Wichtige Eigenschaften betreffen Symmetrie, Schiefe (Skewness) und Wuchtigkeit (Kurtosis) sowie das Verhältnis von Dichte und Verteilungsfunktion. Der zentrale Grenzwertsatz erklärt, warum die Normalverteilung als Approximation in vielen Anwendungen eine zentrale Rolle spielt.

Datenverteilungen werden empirisch aus Stichproben geschätzt. Methoden der Parameterschätzung umfassen Maximum-Likelihood-Schätzung und Momentenmethode. Visualisierungen wie Histogramme und Kernel-Dichte-Schätzungen sowie empirische Quantil-Plot unterstützen die Beurteilung der Verteilungsform. Gute-Fit-Tests (z. B. Kolmogorov-Smirnov, Anderson-Darling) prüfen, wie gut eine theoretische Verteilung zu den Daten passt.

Anwendungen finden sich in der Deskriptivstatistik, in Hypothesentests, Simulationen und der Modellierung von Unsicherheit. Wichtige Annahmen betreffen Unabhängigkeit und Identischverteiltheit der Beobachtungen. Bei stark schiefen oder multimodalen Verteilungen ist Vorsicht geboten, da Modelle dann verzerrt oder unzuverlässig werden können. Die Verteilungsfunktion F(x) gibt P(X ≤ x) an; die Wahl der Parameter und des Verteilungsmodells bestimmt, wie gut die Daten beschrieben werden.