Bundeldifferentiatie

Bundeldifferentiatie is de differentiatie van velden die waarden in een vectorbundel over een basisruimte M hebben. Gegeven een vectorbundel E → M en een verbinding ∇ op E, kan men voor elke veld X op M en elke sectie s van E de covariante afgeleide ∇X s definiëren. Deze afgeleide geeft aan hoe s verandert in de richting X en houdt rekening met de bundlestructuur, waardoor de afgeleide coördinaatokkoord blijft en objecten onafhankelijk van choose coördinaten beschrijven.

In lokale termen wordt, wanneer E triviaal is en s een sectie is, vaak geschreven als ∇X s = X^i (∂i s + Ai s), waarbij Ai de componenten van de verbinding aanbieden. De afgeleide is lineair in X en in s en voldoet aan de Leibniz-regel: ∇X (f s) = X(f) s + f ∇X s voor een functie f op M. De bundelverbinding genereert tevens een curvatuur R, die het verschil meet tussen oplopende afgeleiden: [∇X, ∇Y]s − ∇[X,Y]s = R(X,Y)s.

Eigenschappen en voorbeelden: ieder vectorbundel kan een verbinding dragen, maar deze is niet uniek. Voor de krommen uit Riemannian geometry is de Levi-Civita-verbinding een natuurlijke keuze; voor principal- en vectorbundels bestaan algemene existentie-resultaten. Bundeldifferentiatie is fundamenteel in differential geometry en vormt de basis voor toepassingen in wiskunde en natuurkunde, zoals gauge-theorie en algemene relativiteit, waar velden in bundels x-bewegen en blijven onder de bundelmanifold.