Blochfunktioner

Blochfunktioner är lösningar till Schrödingers ekvation för elektroner i en periodisk potential som uppfyller Blochs teorem. För en elektron i en kristall med potential V(r) som uppfyller V(r+R) = V(r) för alla gittervektorer R, är Hamiltonian H = p^2/2m + V(r). Lösningarna kan skrivas som ψ_{n k}(r) = e^{i k·r} u_{n k}(r), där k är vektor i första Brillouin-zonen och n anger banden. Den periodiska delen u_{n k}(r) uppfyller u_{n k}(r+R) = u_{n k}(r).

Blochfunktionerna är eigenfunktioner till H: H ψ_{n k} = E_n(k) ψ_{n k}. Translational symmetri gör k till ett gott kvanttal och energierna E_n(k) bildar energiband. Egenskaperna hos Blochfunktionerna är att ψ_{n k}(r+R) = e^{i k·R} ψ_{n k}(r) och att u_{n k}(r) har gitterperioditet. Dessa vågor är oftast extended över hela kristallen, i motsats till lokala Wannierfunktioner.

Användningar och betydelse: Blochfunktioner utgör basen för elektronstrukturberäkningar i fasta kristaller, och bandstrukturen E_n(k) styr elektronisk ledningsförmåga, optiska övergångar och effektiv massa nära bandkanter. För lokaliserade modeller används ofta Wannierfunktioner, som erhålls via Fourier-transformer av Blochvågor och ger en mer lokal bild av elektronens beteende.

Historik och sammanhang: Blochs teorem introducerades av Felix Bloch 1928. Blochfunktioner används även inom fotoniska kristaller och andra system med periodicitet, där man analyserar hur vågor propagera genom en periodisk struktur.