Bayesregeln

Bayesregeln, auch Bayes’ Theorem genannt, bildet eine zentrale Regel der Wahrscheinlichkeitsrechnung, die das Aktualisieren von Glaubensurteilen unter Unsicherheit beschreibt. Die Grundform lautet P(H|D) = [P(D|H) P(H)] / P(D). H steht für eine Hypothese oder einen Parameter, D für beobachtete Daten. P(H) ist die a priori-Wahrscheinlichkeit, P(D|H) die Likelihood, und P(H|D) die a posteriori-Wahrscheinlichkeit. P(D) entspricht der Beurteilung der Evidenz über alle möglichen Hypothesen und ergibt sich als P(D) = ∑_H P(D|H) P(H) bzw. als Integral bei kontinuierlichen H.

Angewendet wird Bayesregel zur statistischen Inferenz, Parameterabschätzung, Entscheidungsfindung unter Unsicherheit und Prognose. Typische Ansätze umfassen die Wahl einer Prior, die Berechnung oder Approximation der Posterior-Verteilung und die Ableitung von Schlussfolgerungen aus Daten. In einfachen Fällen liefern Konjugate Prioren eine analytische Posterior-Verteilung; in komplexen Modellen kommen numerische Verfahren wie Markov-Chain-Monte-Carlo, Variational Inference oder Bayes-Netzwerke zum Einsatz.

Historisch geht die Bayesregel auf die Arbeiten von Thomas Bayes zurück; die formale Verbreitung und Weiterentwicklung erfolgte durch Pierre-Simon Laplace. In der deutschsprachigen Fachliteratur wird der Begriff Bayesregel oder Bayes’ Theorem verwendet.

Beispiel: Bei der medizinischen Diagnostik lässt sich die Wahrscheinlichkeit einer Erkrankung P(D|Pos) aus der Prävalenz p, der Sensitivität s und der Falsch-Positiv-Rate f mit P(D|Pos) = [s p] / [s p + f (1-p)] berechnen. Die Regel ermöglicht damit das schrittweise Aktualisieren von Annahmen, wenn neue Belege auftreten.