BayesAnsätze

Bayes-Ansätze, auch Bayessche Methoden genannt, verwenden eine probabilistische Sichtweise auf unbekannte Größen. Sie behandeln Unsicherheiten als Zufallsgrößen und aktualisieren Überzeugungen anhand der Daten mittels des Bayes’schen Satzes. Der Rahmen integriert explizit Vorwissen über eine Priorverteilung und liefert nach der Datenerhebung eine Posteriorverteilung; daraus lassen sich auch Vorhersagen ableiten.

Im Kern stehen Priorverteilung, Likelihood und Posteriorverteilung. Der Bayessche Satz besagt, dass der Posterior proportional zum Produkt aus Likelihood und Prior ist. Die Vorhersageverteilung (predictive distribution) integriert über den Posterior, um Vorhersagen für neue Daten zu treffen und Unsicherheit entsprechend abzubilden.

In einfachen Modellen mit konjugierten Priors ist exakte Inferenz möglich, doch in den meisten praktischen Problemen verwendet man numerische Verfahren wie Markov-Ketten-Monte-Carlo (MCMC), darunter Gibbs-Sampling oder Hamiltonian Monte Carlo, oder Variational Inference als schnelle approximative Alternative. Bayessche Modelle werden oft hierarchisch formuliert, mit Hyperprioren, die Informationsaustausch über Gruppen ermöglichen und Regularisierung durch die Struktur der Priors bieten.

Zu den Vorteilen zählen eine kohärente Behandlung der Unsicherheit, eine principierte Einbeziehung von Vorwissen und natürliche Werkzeuge für Modellvergleich über Bayes-Faktoren oder Posterior-Modellwahrscheinlichkeiten. Zu den Einschränkungen gehören Empfindlichkeit gegenüber Priors, rechnerischer Aufwand und potenzielle Probleme mit Konvergenz oder Missspezifikation des Modells.

Bayessche Ansätze haben in vielen Disziplinen Einfluss genommen, darunter Medizin, Ökologie, Finanzen, Maschinelles Lernen und Ingenieurwesen, wo sie Parameterabschätzung, Prognose, Entscheidungen unter Unsicherheit sowie adaptives Versuchsdesign unterstützen.