3DVerteilung

3DVerteilung ist in der Statistik der Begriff für eine Wahrscheinlichkeitsverteilung, die einen dreidimensionalen Zufallsvektor X = (X1, X2, X3) in R3 beschreibt. Sie ordnet jedem dreidimensionalen Ereignis eine Wahrscheinlichkeit zu und erlaubt Aussagen über Zusammenhänge zwischen den drei Koordinaten. Je nach Modell kann es sich um eine stetige Verteilung mit einer Wahrscheinlichkeitsdichte f(x1,x2,x3) handeln oder um eine diskrete Verteilung mit einer Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion p(x1,x2,x3) auf abzählbaren Punkten. Bei stetigen Verteilungen gilt ∫ f(x) dx = 1 über ganz R3.

Die Verteilung wird durch das Erwartungswert-Vektor μ = E[X] und die Kovarianzmatrix Σ beschrieben. Σ ist eine 3×3-positiv-definite Matrix, deren Einträge die Varianzen und Korrelationen der Koordinaten festlegen. Zwei Koordinaten sind unabhängig, wenn die entsprechenden Kovarianzwerte Null sind, dann ist die gemeinsame Verteilung das Produkt der Marginalverteilungen.

Ein zentrales Beispiel ist die multivariate Normalverteilung N3(μ, Σ) mit der Dichte f(x) = (2π)^{-3/2} |Σ|^{-1/2} exp(-1/2 (x-μ)^T Σ^{-1} (x-μ)). Ist Σ proportional zur Einheitsmatrix, spricht man von einer isotropen Normalverteilung, bei der alle Richtungen gleich variieren.

Weitere typische dreidimensionale Modelle umfassen eine 3D-Uniformverteilung auf einem Würfel oder eine isotrope Verteilung auf einer Kugeloberfläche bzw. in einem Ball. Anwendungen finden sich in Physik, Computergrafik, Meteorologie und Geologie; Visualisierung erfolgt oft über Marginalverteilungen, Dichteflächen oder Ellipsoiden von Niveauflächen der Dichte.

Parameterbestimmung erfolgt häufig durch Maximum-Likelihood-Schätzung aus Stichproben. Wichtige Kenngrößen sind der Mittelwert μ und die Kovarianz Σ, deren Schätzer die Struktur der dreidimensionalen Verteilung widerspiegeln.