Überschneidungspunkte

Überschneidungspunkte bezeichnet in der Geometrie die Punkte, an denen sich zwei Objekte schneiden oder überlappen. Ein Überschneidungspunkt ist ein Punkt, der zugleich zu beiden Objekten gehört. Mathematisch ergibt sich diese Eigenschaft als Lösung eines Gleichungssystems: Sind C1 durch F(x,y)=0 und C2 durch G(x,y)=0 definiert, dann sind die Überschneidungspunkte die gemeinsamen Lösungen von F=0 und G=0. In drei Dimensionen verhalten sich Oberflächen S1: F(x,y,z)=0 und S2: G(x,y,z)=0 entsprechend.

Beispiele zeigen das unterschiedliche Verhalten: Der Schnittpunkt zweier Geraden liegt, sofern sie sich schneiden, eindeutig vor. Zwei Geraden können parallel zueinander liegen und dann keine Überschneidungspunkte besitzen. Eine Gerade, die einen Kreis tangential berührt, schneidet ihn in genau einem Punkt, mit Berührung. Allgemein können zwei Kurven bis zu m*n Überschneidungspunkte haben, wobei die konkrete Zahl von den Formen und der Lage abhängt.

Der Begriff umfasst auch Sonderfälle. Sind die Objekte identisch, ergibt sich eine unendliche Menge von Überschneidungspunkten. Überschneidungspunkte können eine unterschiedliche Multiplizität besitzen: eine Berührung (Tangente) entspricht einer Berührung mit Multiplikität größer als Eins. In der algebraischen Geometrie spielt die Multiplizität eine zentrale Rolle; in der projektiven Geometrie erweitert sich das Konzept durch Punkte im Unendlichen, sodass parallele Geraden in einem Punkt im Unendlichen schneiden.

Methodisch lassen sich Überschneidungspunkte analytisch durch Lösen des Gleichungssystems bestimmen, grafisch durch den Schnitt der Graphen oder numerisch durch Näherungsverfahren wie Newtons Methode. Anwendungen reichen von Computergraphik und CAD bis hin zu Robotik, Physik und Optimierung.