wielomianem

Wielomianem nazywamy wyrażenie algebraiczne składające się z sumy iloczynów stałych współczynników i pewnej liczby potęg zmiennej. Najczęściej spotykaną postacią jest P(x) = a0 + a1 x + a2 x^2 + ... + an x^n, gdzie a0, a1, ..., an należą do pewnego pierścienia lub pola, a n ≥ 0. Jeżeli an ≠ 0, nazywamy n stopniem wielomianu. Specjalnym przypadkiem jest wielomian zerowy, w którym wszystkie współczynniki są równe zero; jego stopień nie jest zdefiniowany.

Właściwości i operacje: wielomiany są zamknięte na dodawanie, odejmowanie i mnożenie; ich iloczynem również otrzymuje się wielomian. Możliwa jest także składanie (operacja kompozycji). Wartość wielomianu w punkcie c nazywana jest jego oceną i zapisywana jako P(c). Wielomian można rozkładać na iloczyn czynników liniowych lub nierozkładalnych nad danym ciałem, co prowadzi do rozwiązywania równań P(x) = 0.

Pierwiaszki i faktoryzacja: w ciałach liczbowych rzeczywistych lub zespolonych rozkład na czynniki odgrywa kluczową rolę w analizie. Fundamentalne twierdzenie algebry stwierdza, że niezerowy wielomian stopnia n nad liczbami zespolonymi ma dokładnie n korzeni (zliczając z n), co uwzględnia ich mnożności. W polach rzeczywistych korzenie mogą być rzeczywiste lub pary zespolonych.

Zastosowania obejmują aproksymację funkcji poprzez wielomiany (interpolacja, aproksymacja Taylorowska), numeryczne metody rozwiązywania równań oraz modelowanie zjawisk w naukach ścisłych i inżynierii. Wielomiany są także fundamentem wielu technik algebry komputerowej i analizy numerycznej.