interpolacja

Interpolacja to proces w matematyce numerycznej polegający na wyznaczaniu wartości funkcji w punktach, które leżą między znanymi punktami danych. Na wejściu najczęściej są pary (x_i, y_i), gdzie y_i = f(x_i) dla pewnej nieznanej, gładkiej funkcji f. Celem interpolacji jest stworzenie funkcji interpolującej, która przechodzi przez wszystkie dane punkty. Interpolacja różni się od aproksymacji lub regresji, które mogą nie zachowywać dokładnie wartości w danych węzłach.

Najbardziej klasyczną metodą jest interpolacja wielomianowa, która używa form Lagrange’a lub Newtona. Prostej wersji jest interpolacja liniowa. W praktyce często stosuje się interpolację składaną (splajny), zwłaszcza cubic splines, które na każdym z przedziałów między węzłami tworzą niskiego stopnia wielomian, zapewniając ciągłość pochodnych. Inną grupą metod są interpolacje trygonometryczne (dla danych okresowych) i interpolacja oparta na funkcjach bazowych (np. radial basis functions).

Błąd interpolacji zależy od gładkości f oraz od wybranej metody. Przy wysokich stopniach wielomianów i równomiernie rozmieszczonych węzłach może wystąpić zjawisko Runge’a, prowadzące do dużych błędów w pobliżu brzegów przedziału. Aby go ograniczyć, stosuje się węzły Chebysheva lub splajny, które redukują oscylacje i zapewniają stabilność. W wielu zastosowaniach praktycznych preferuje się metody kawałkowe lub bazowe zamiast jednej, wysokiej rangi wielomianu.

Zastosowania interpolacji obejmują rekonstrukcję sygnałów i obrazów, grafikę komputerową, odtwarzanie danych geodezyjnych, numeryczne rozwiązywanie równań różniczkowych oraz estymację wartości funkcji między pomiarami. Historia interpolacji sięga prac Newtona i Lagrange’a z XVII wieku; od tego czasu rozwinięto wiele wariantów i narzędzi, które umożliwiają praktyczne zastosowania w naukach ścisłych i inżynierii.