aproksymacji

Aproksymacja to proces zastępowania złożonych obiektów prostszymi, dopuszczając pewien błąd. W matematyce i informatyce dotyczy funkcji, danych lub operatorów. Celem jest uzyskanie modelu wystarczająco dokładnego i łatwego do obliczenia, który zachowuje istotne cechy oryginału. W odróżnieniu od interpolacji, w aproksymacji nie wymaga się dopasowania w określonych punktach; błąd jest akceptowalny na całym obszarze.

Pojęcia podstawowe to błąd e(x) = f(x) − p(x) i miary błędu zależne od normy, np. normy supremum lub Lp. Zbieżność może być punktowa, jednostajna (uniform) lub w sensie średnim. W praktyce interesuje nas istnienie dobrej aproksymacji i jej szybkość zbieżności.

Rodzaje i metody: najważniejsza jest aproksymacja funkcji wielomianowa (twierdzenie Weierstrassa: każdą funkcję ciągłą na przedziale [a,b] można przybliżyć wielomianami), w tym konstrukcja Bernsteinowych wielomianów. Stosuje się także aproksymację minmax (Chebyshev), aproksymację trygonometryczną (szereg Fouriera), splajny oraz aproksymację racjonalną (Padé). Metody praktyczne obejmują najmniejsze kwadraty, projekcję na podprzestrzenie funkcji oraz techniki minimax i B-splajny. W przetwarzaniu sygnałów używa się także filtrów i dopasowań modeli.

Znaczenie i zastosowania: w teorii aproksymacji kluczowe są twierdzenia Weierstrassa i Stone’a–Weierstrassa oraz ograniczenia błędu zależne od gładkości funkcji. Zastosowania obejmują analizę numeryczną, dopasowywanie modeli do danych, przetwarzanie sygnałów, grafikę komputerową i rozwiązywanie równań różniczkowych.