aproksymacja

Aproksymacja to proces zastępowania złożonego obiektu matematycznego prostszą, łatwiejszą do obliczeń reprezentacją, która zachowuje istotne cechy oryginału i ogranicza błąd do zadanej tolerancji. W matematyce i naukach stosowanych dotyczy funkcji, sygnałów, danych lub modeli. Celem jest ograniczenie złożoności obliczeniowej, redukcja danych lub poprawa stabilności numerycznej przy jednoczesnym utrzymaniu akceptowalnej dokładności.

W praktyce aproksymacja często występuje w kontraście do interpolacji. W interpolacji model musi dokładnie odtworzyć wartości w zadanych punktach, podczas gdy w aproksymacji dopuszcza się błędy w punktach między nimi. Najczęściej stosowane reprezentacje to wielomiany, funkcje trygonometryczne, splajny (sklejanie wielomianów) oraz funkcje radialne. Metody obejmują m.in. najmniejsze kwadraty (nad optymalizacją w normie L2), minimalny błąd maksymalny (norma supremum, tzw. aproksymacja minimax) i aproksymację czebyszewską; w przypadku funkcji okresowych wykorzystuje się szeregi Fouriera, a w pewnych zastosowaniach – bazy Chebysheva.

W teorii ważne są wyniki dotyczące możliwości przybliżania. Twierdzenie Stone’a–Weierstrassa stwierdza, że każdą funkcję ciągłą na zamkniętym przedziale można przybliżyć dowolnie dokładnie przez wielomiany w normie supremum. Szeregi Fouriera i inne techniki umożliwiają także praktyczną aproksymację funkcji i sygnałów w różnych normach.

Zastosowania aproksymacji obejmują numeryczne rozwiązywanie równań różniczkowych, modelowanie i kompresję sygnałów, przetwarzanie obrazów, inżynierię, fizykę oraz analizę danych. Przykładowo sygnały często są przybliżane przez serie trigonometryczne, co umożliwia efektywne filtrowanie i redukcję szumów.