aproksymacj

Aproksymacja to proces zastępowania złożonej rzeczy przez prosty model, który w zadanych warunkach odzwierciedla istotne cechy oryginału. W matematyce i naukach stosowanych dotyczy ona zarówno funkcji, danych, jak i rozwiązań równań, procesów losowych oraz sygnałów.

Podstawowe rodzaje obejmują aproksymację funkcji przez prostsze funkcje (na przykład wielomiany czy funkcje trygonometryczne), a także aproksymację danych i sygnałów. Kluczowym elementem jest miara błędu między oryginałem a modelem, zwykle wyrażona normą błędu. Popularne metody to rozwinięcia w szeregi (Taylor, Laurent), aproksymacja minimax, Chebysheva, splajny oraz regresja liniowa i metody najmniejszych kwadratów.

Rozróżnia się aproksymację numeryczną, analityczną i statystyczną. W analizie numerycznej celem jest uzyskanie stabilnych i efektywnych obliczeniowo przybliżeń rozwiązań równań i całek; często występują błędy zaokrągleń, obcięcia i zbieżność. W statystyce aproksymacja wiąże się z modelowaniem danych za pomocą parametrów modelu i oszacowaniem ich wartości. W praktyce decyzja o dopuszczalnym błędzie i złożoności modelu decyduje o użytej metodzie.

Zastosowania obejmują inżynierię, obliczenia naukowe, przetwarzanie sygnałów, kompresję danych, grafikę komputerową i nauki o danych. Aproksymacja umożliwia prowadzenie obliczeń i analiz tam, gdzie dokładne rozwiązania są nieosiągalne lub kosztowne. Należy jednak uwzględniać ograniczenia, takie jak możliwość wprowadzenia błędów systematycznych i zależność wyników od wybranych funkcji lub kryteriów błędu.