Wielomiany

Wielomian w zmiennej x nad ciałem F to wyrażenie postaci P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + ... + a_1 x + a_0, gdzie a_i ∈ F i a_n ≠ 0. Stopień P to n. Najczęściej spotykane są wielomiany rzeczywiste (F = R) lub zespolone (F = C); istnieją także wielomiany wielu zmiennych, na przykład P(x,y) = a x^2 + b xy + c y^2 + d x + e y + f. Koeficjenci mogą należeć do różnych ciał.

Podstawowe operacje to dodawanie, odejmowanie, mnożenie i dzielenie z resztą; wielomiany można także oceniać w wybranej wartości P(a), a także faktoryzować. Zera wielomianu to wartości x spełniające P(x) = 0; liczba rzeczywistych zer i ich multiplicity zależy od stopnia i współczynników.

Fundamentalne twierdzenie algebry stwierdza, że nad liczbami zespolonymi każdy niezerowy wielomian jednowymiarowy ma skończone pierwiastki w C, zliczane z uwzględnieniem wielokrotności. Rozkład na czynniki ma postać P(x) = a_n ∏ (x − r_i)^{m_i}, gdzie r_i są pierwiastkami, a m_i ich wielokrotności.

W zastosowaniach używane są w analizie numerycznej, interpolacji, aproksymacji funkcji, rozwiązywaniu równań i w wielu gałęziach matematyki oraz nauk technicznych.