waardevorm

Een waardevorm, in de wiskunde vaak vertaald als valuation, is een manier om de grootte of waarde van elementen van een veld te meten. Het doel is om een samenhangende structuur te geven die aritmetische eigenschappen vastlegt en leidt tot bijbehorende algebraïsche objecten, zoals waarderingringen en residuvelden.

Formeel is een waardevorm v op een veld K een functie v: K → Γ ∪ {∞}, waarbij Γ een totaal geordende additieve groep is en met de volgende axioma’s: v(0) = ∞; v(xy) = v(x) + v(y); en v(x+y) ≥ min{v(x), v(y)} voor alle x, y ∈ K. De groep Γ wordt het waardeveld genoemd en v is een extendende grootte van elementen in K. Een paar (K, v) heet een veld met waardering.

Uit v ontstaan belangrijkeconstructies. De verzameling R_v = { x ∈ K | v(x) ≥ 0 } wordt de waarderingring genoemd en de verzameling P_v = { x ∈ K | v(x) > 0 } een maximale ideaal van R_v. Het residu veld, R_v / P_v, vangt de “overgebleven” waarde bij deling. Een veelgebruikt voorbeeld is de p-adische waardevorm op Q: v_p(p) = 1 en v_p(a/b) = v_p(a) − v_p(b); de bijbehorende waarderingring is Z_(p) en |x|_p = p^{-v_p(x)}.

Vervormingen bestaan: discrete waardevormen (Γ ≅ Z), en hogere-orde of niet-discreet geordende waardevormen. Waardevormen geven een natuurlijke topologie aan het veld, leiden tot de studie van voltooingen (zoals Q_p) en spelen een centrale rol in getaltheorie, algebraïsche meetkunde en gerelateerde vakgebieden zoals tropicalisatie en modeltheorie. In Nederlandse vakliteratuur wordt de term soms direct als waardevorm gebruikt.