vektorräumen

Vektorräume, auch lineare Räume genannt, sind algebraische Strukturen, die aus einer Menge V von Vektoren über einem Körper F bestehen und zwei Operationen tragen: Addition V×V→V und Skalarmultiplikation F×V→V. Die Axiome verlangen, dass V unter der Addition eine abelsche Gruppe ist, die Skalarmultiplikation sich wie erwartet verhält und Distributivität gilt. Typische Beispiele sind der reelle Raum R^n, Räume von Funktionen oder Polynomen über F sowie Sequenzräume.

Ein Unterraum ist eine nichtleere Teilmenge W von V, die abgeschlossen ist unter Addition und Skalarmultiplikation. Der Unterraum span(S) eines Satzes S von Vektoren besteht aus allen linearen Kombinationen von Vektoren aus S. Ist S eine Basis von V, gilt V = span(S); damit lässt sich jeder Vektor eindeutig durch Koeffizienten relativ zu S darstellen.

Basen und Dimension: Eine Basis ist eine linear unabhängige Erzeugendensammlung. Die Anzahl der Basisvektoren heißt Dimension von V. Endlichdimensionale Räume besitzen eine endliche Basis; unendliche Räume besitzen unendliche Basen. Mit einer Basis lassen sich Vektoren eindeutig in Koordinaten darstellen, d.h. jeden Vektor durch eine eindeutige n-Tupel Koordinatenwerte ausdrücken.

Lineare Abbildungen: Eine lineare Abbildung T von V nach W erhält Vektoraddition und Skalarmultiplikation unverändert. Der Kern (Nullraum) von T besteht aus Vektoren, die auf den Nullvektor abgebildet werden, das Bild aus allen möglichen Bildwerten. Das Rang-Nullität-Theorem verbindet die Dimension des Kerns mit der Dimension des Bildes.

Isomorphismen und Dualraum: Zwei Vektorräume heißen isomorph, wenn es eine bijektive lineare Abbildung zwischen ihnen gibt. Der Dualraum V* besteht aus allen linearen Funktionalen V→F und spielt eine zentrale Rolle in der linearen Algebra.