variacionais

Variacionais é o conjunto de técnicas e princípios que se baseiam na ideia de variação de grandezas para obter resultados, abrangendo áreas como matemática, física, estatística e ciência da computação. No contexto matemático, refere-se ao cálculo das variações e a métodos variacionais para otimizar funcionais. Na estatística e no aprendizado de máquina, descreve a inferência variacional, uma aproximação da distribuição a posteriori.

Cálculo das variações é a área que trabalha com funcionais, isto é, funções que atribuem números a outras funções. O objetivo é encontrar funções que tornem o funcional estacionário, seguindo condições apresentadas pelas equações de Euler–Lagrange. Aplicações comuns incluem a determinação de geodésicas, o formalismo da mecânica clássica através do princípio da ação e problemas de otimização de forma em engenharia.

Métodos variacionais em análise numérica consistem em reformular problemas diferenciais como problemas variacionais, buscando soluções por meio de aproximação em espaços de funções. Técnicas como o método de Ritz e o método de Galerkin são exemplos clássicos, usados para resolução de equações diferenciais parciais, em engenharia, física computacional e ciências aplicadas.

Inferência variacional é uma abordagem de estatística bayesiana que aproxima a distribuição a posteriori escolhendo uma família de distribuições variacionais e otimizando um critério de ajuste, frequentemente o ELBO (Evidence Lower Bound). Essa técnica é central em modelos de aprendizado de máquina probabilísticos, incluindo os autoencoders variacionais (VAEs), e é empregada em tarefas de inferência eficiente, redução de dimensionalidade e aprendizado não supervisionado.