funcionais

Funcionais, no contexto da matemática, referem-se a aplicações que associam a cada elemento de um espaço vetorial X um único número no corpo subjacente, normalmente os reais ou os complexos. Quando a aplicação é linear, chama-se funcional linear. O conjunto de todos os funcionais lineares contínuos em X é conhecido como o espaço dual de X, denotado X*.

Em espaços com norma, um funcional linear é contínuo se, e somente se, é acotado: existe C > 0 de modo que |φ(x)| ≤ C ||x|| para todo x em X. Em espaços de dimensão finita, todo funcional linear é contínuo; em espaços de dimensão infinita, o espaço dual pode ser estritamente menor do que o conjunto de todos os funcionais lineares.

Exemplos comuns incluem: em X = C([a,b]), o funcional φ_t0 definido por φ_t0(f) = f(t0) é linear e contínuo; em X = L^p(a,b) com 1 ≤ p ≤ ∞, para g ∈ L^q com 1/p + 1/q = 1, o funcional φ_g(f) = ∫ f(x) g(x) dx é contínuo. Em espaços de Hilbert, o teorema de representação de Riesz afirma que cada funcional contínuo φ pode ser escrito como φ(x) = ⟨x, y⟩ para algum y ∈ H.

O espaço dual X* é fundamental na análise funcional, servindo para expressar dualidade, representar coeficientes em métodos variacionais e entender restrições em problemas de otimização. Em muitos contextos, a teoria dos funcionais contínuos está ligada à representação de medidas, como indicado pela representação de funções contínuas em termos de integrais contra medidas, conforme o teorema de representação de Riesz–Markov.

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