transformatiecoëfficiënten

Transformatiecoëfficiënten zijn de getallen die aangeven hoe een object of signaal verandert wanneer het wordt uitgedrukt in een andere representatie die wordt gedefinieerd door een lineaire transformatie. Ze komen voor bij veranderingen van basis in een vectorruimte en bij transformaties die een signaal in een ander domein plaatsen, bijvoorbeeld van tijd naar frequentie of van ruimtelijke coördinaten naar een gewijzigd referentiekader. In het lineaire algebra-kader worden ze vaak weergegeven als onderdelen van een transformatie- of veranderingsmatrix. Als B en B' twee bases zijn en een vector x zich uitdrukt als x = Σ x_i b_i = Σ x'_j b_j', dan zijn de transformatiecoëfficiënten de getallen c_ij waardoor b_j' = Σ_i c_{ij} b_i. De coördinaten van x veranderen volgens [x'] = T [x], waarbij T de matrix is waarvan de kolommen de coördinaten van de nieuwe basisvectoren in de oude basis zijn.

Wanneer de bases orthonormaal zijn, kunnen de coëfficiënten eenvoudig worden berekend als het inproduct met de nieuwe basisvectoren: x'_j = ⟨x, b_j'⟩. Voor een rotatie in het vlak is T een rotatiematrix met elementen cos θ en sin θ; de coëfficiënten geven aan hoe de vectorcomponenten zijn gewogen na de rotatie. In signaal- en beeldverwerking verwijzen transformatiecoëfficiënten vaak naar de getallen die een signaal representeren in een transformatiedomein, zoals Fourier- of waveletcoëfficiënten.

Eigenschappen: elke vector heeft unieke transformatiecoëfficiënten voor een gegeven basis, en bij een volledige basis bestaan er evenveel coëfficiënten als dimensies van de ruimte. Door de keuze van de basis kunnen coëfficiënten eenvoudig of juist complex zijn om te berekenen, afhankelijk van orthogonaliteit en normalisatie.