toepasingsruimte

Toepassingsruimte is een term in de wiskunde die verwijst naar de verzameling van alle mogelijke uitkomsten van een functie of transformatie. Voor een functie f: X -> Y wordt de toepasingsruimte vaak aangeduid als f(X) = { f(x) | x ∈ X }. Voor lineaire transformaties T: V -> W is de toepasingsruimte het beeld van T, ook wel im(T) of range(T) genoemd.

In dit lineaire geval is im(T) een onderruimte van de doelruimte W. Als T alle vectoren in W afbeeldt, dan is im(T) gelijk aan W. In het algemeen is de toepasingsruimte de “effectieve bereik” van de transformatie; bij niet-lineaire functies hoeft im(f) geen subruimte te vormen.

De dimensie van de toepasingsruimte wordt de rang genoemd. Voor een lineaire T geldt de rang-nulliteit: dim(V) = dim(ker(T)) + dim(im(T)). De kern (ker(T)) is de verzameling vectoren die naar de nulvector gaan.

Berekenen: om im(T) te vinden, breng T aan op een basis van V en neem de span van de afbeeldingen van de basisvectoren. Bijvoorbeeld, f: R^2 -> R^2 met f(x,y) = (x,0) heeft im(f) = {(a,0) | a ∈ R}, de x-as, dimensie 1. Een andere transformatie T: R^3 -> R^2 met T(x,y,z) = (x+y, y+z) heeft im(T) = span{(1,0), (1,1)} = R^2, dimensie 2.

Notatie en verwante termen: im(T) wordt vaak geschreven als beeld(T) of range(T). Het begrip is fundamenteel bij het bestuderen van lineaire transformaties, invertibiliteit en dimensie.