todennäköisyys

Todennäköisyys on matematiikan ala, joka kuvaa epävarmuutta ja mahdollisuuksia. Se mittaa, kuinka todennäköisesti jokin tapahtuma toteutuu. Merkitään P(A), ja arvo on välillä 0 ja 1. Tapahtumien kokoelma muodostaa näyteavaruuden (sample space); tapahtuma A on sen alijoukko ja P(A) antaa todennäköisyyden toteutua.

Kolmogorovin aksioomit muodostavat todennäköisyysmittarin peruspylväät: 0 ≤ P(A) ≤ 1 kaikille tapahtumille A; P(S) = 1 (S on näyteavaruus); ja jos A1, A2, ... ovat disjunktteja tapahtumia, niin P(∪i Ai) = ∑i P(Ai). Näiden avulla todennäköisyydet määritellään muodollisesti.

Eri jakaumatyypit ja niiden kuvaukset: diskreetissä tapauksessa määritellään pistetodennäköisyydet P(X = x) tai todennäköisyysmassafunktio (PMF). Jatkuvassa tapauksessa käytetään tiheysfunktiota f(x) ja kumulatiivista jakaumaa F(x) = P(X ≤ x).

Keskeiset operatiiviset käsitteet ovat ehdollinen todennäköisyys P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B) (P(B) > 0) sekä riippumattomuus: P(A ∩ B) = P(A)P(B) jos A ja B ovat riippumattomia. Laki kokonaistodennäköisyydestä P(A) = ∑i P(A|Bi) P(Bi) pätevöittää, kun tapahtumat Bi muodostavat jaon.

Bayesin teoreema, P(A|B) = P(B|A) P(A) / P(B), yhdistää aiempaa tietoa päivitettyyn todennäköisyyteen. Interpretasjoner jakautuvat tilanneperusteisesti: frekventistinen näkökulma painottaa pitkän aikavälin suhteita, Bayesin näkökulma priorisointia ja ajantasaista päivitystä.

Käytännössä todennäköisyydet löytyvät tilastotieteessä, riskiarvioinnissa ja päätöksenteossa, ja niitä sovelletaan muun muassa normaalin, binomiaalin, eksponentiaalin sekä monien muiden jakautumien yhteydessä.