alijoukko

Alijoukko on joukko, jonka jokainen alkio kuuluu toiseen joukkoon. Jos A ja B ovat joukkoja, kirjoitetaan A ⊆ B osoittamaan, että jokainen A:n alkio on myös B:n alkio. Jos lisäksi A ≠ B, kyseessä on oikea alijoukko B.

Esimerkki: A = {1, 2} ja B = {1, 2, 3}. Tällöin A ⊆ B ja A ≠ B, joten A on oikea alijoukko B. Tyhjä joukko ∅ on alijoukko kaikille joukoille, ja monissa konteksteissa on myös piirretty, että tietty universaali joukko U sisältää kaikki tarkasteltavat alijoukot.

Alijoukko-suhde on tärkeä ominaisuus: se on refleksiivinen ( kaikki joukot ovat alijoukkoja itselleen, A ⊆ A) ja transitiivinen (jos A ⊆ B ja B ⊆ C, niin A ⊆ C). Kun A ⊆ B, on luonnollista, että A ∪ B = B ja A ∩ B = A. Lisäksi A ⊆ B → B^c ⊆ A^c, missä ^c merkitsee komplementtia jokin universaaliin joukkoon nähden.

Kokoihin liittyy myös oletus: jos A ⊆ B, niin |A| ≤ |B|. Tämä pätee laajasti sekä äärellisissä että epätoremmissa joukoissa.

Käyttökohteita alijoukko-suhteella on useita: järjestelmien ja relaatiotilanteiden muodostaminen, todennäköisyyslaskenta, logiikka sekä tietojenkäsittelytieteen perusjohdot ja kyselykontekstit. Alijoukkojen käsite auttaa määrittelemään, miten joukkojen sisäiset ominaisuudet ja suhteet voivat rajata mahdollista informaatiota.