pistetodennäköisyydet

Pistetodennäköisyydet kuvaavat yksittäisten lopputulosten todennäköisyyksiä diskreetissä satunnaismuuttujassa. Ne ilmoitetaan usein p(x) tai P(X = x), jossa X on diskreetti satunnaismuuttuja ja x kuuluu X:n mahdollisiin arvoihin. Näillä arvoilla muodostuu jakauma, jota kutsutaan todennäköisyystiheydestä puuttuvan termin korvaamiseksi usein todellisuudessa “todennävyysmassana” tai määrällisen pistemuodon mukaan PMF:llä (probability mass function).

Erot continuous-jakaumien kanssa mainitaan, että diskreeteissä jakaumissa pistetodennäköisyydet voivat olla positiivisia jokaiselle mahdolliselle arvolle ja niiden summa on 1. Toisaalta jatkuvissa jakaumissa yksittäisten arvojen todennäköisyydet ovat käytännössä nolla, ja käytetään tiheysfunktiota f(x) sekä kertymäfunktiota F(x). Tämä tekee pistetodennäköisyyksien käyttöä eri tavalla kuin jatkuvia malleja.

Esimerkki: nopan heitossa X on arvo {1,2,3,4,5,6}. Jokaiselle x ∈ {1,...,6} on p(x) = 1/6. Toinen esimerkki on kolikonheitto, jossa X ∈ {H, T} ja kumpikin tulos voi saada todennäköisyyden 0.5.

Pistetodennäköisyydet ovat perusta tilastollisille laskuille, kuten odotusarvon E[X] = sum x p(x) ja varianssin Var(X) = sum (x − E[X])^2 p(x). Ne ovat myös keskeisiä mallien parametrien estimoinnissa ja todennäköisyyksien tulkinnassa Bayesian tai frekventistisen tilastoinnin yhteydessä.