odotusarvon

Odotusarvo (odotusarvon) on tilastotieteen ja todennäköisyysteorian peruskäsite. Se kuvaa satunnaismuuttujan pitkän aikavälin keskimääräistä arvoa, kun kokeita toistetaan lukemattomia kertoja. Odotusarvoa käytetään tulkintaan ja ennusteisiin, mutta se ei välttämättä ole yksittäisen kokeen tulos.

Diskreetin satunnaismuuttujan odotusarvo: jos X voi saada arvot x_i ja tapahtumistodennäköisyydet P(X = x_i) tunnetaan, odotusarvo on E[X] = ∑_i x_i P(X = x_i). Tämä summa määrittelee keskimääräisen tuloksen pitkällä aikavälillä.

Jatkuvan satunnaismuuttujan odotusarvo: jos X:n tiheysfunktio on f_X, E[X] = ∫_{-∞}^{∞} x f_X(x) dx, olettaen että integraali on konvergoiva.

Lineaarisuus: E[aX + bY] = a E[X] + b E[Y], missä a ja b ovat reaalilukuja ja odotusarvot ovat määriteltyjä. Tämä ominaisuus pätee riippumatta siitä, ovatko X ja Y riippuvaisia.

Tulkinta ja esimerkkejä: odotusarvo toimii pitkän aikavälin keskiarvona. Esimerkiksi Bernoulli(p) -satunnaismuuttuja X ∈ {0,1} saa E[X] = p; tasainen jakautuminen U[a,b] saa E[X] = (a+b)/2; normaalijakauma N(μ, σ^2) saa E[X] = μ.

Sovellukset: tilastollinen estimointi, riskien arviointi ja päätöksenteko. Otoskeskimäärä X̄_n on suurten lukujen lain mukaan konvergoiva kohti odotusarvoa, kun n kasvaa.