tiheysfunktio

Tiheysfunktio kuvaa jatkuvan satunnaismuuttujan jakauman tiheyttä suhteessa Lebesgueinmitataan. Mikäli X on jatkuva, sen jakauma on tiheydellä f_X siten, että jokaiselle Borel-joukko A pätee P(X ∈ A) = ∫_A f_X(x) dx. Tiheysfunktio on epänegatiivinen ja koko reaalilukujen suhteen integraali on 1: ∫_{-∞}^{∞} f_X(x) dx = 1.

Jos jakauma ei ole atto- tai jatkuva, ei välttämättä ole tiheysfunktiota. Tällöin käytetään esimerkiksi todennäköisyysmassafunktiota (PMF) tai sekajakaumaa kuvaavia käsitteitä. Monissa tapauksissa voidaan käsitellä sekä jatkuvaa että diskreettiä osaa samanaikaisesti. Myös useamman kuin yhden muuttujan tapauksessa (X = (X_1, ..., X_d)) toimii yhteinen tiheysfunktio f_X(x) määritettyjen muuttujien suhteen, ja sen integraali yli koko tilavuuden on 1: ∫_{R^d} f_X(x) dx = 1.

Välinen suhde kumulatiiviseen jakaumafunktioon F_X on tärkeä: F_X(x) = P(X ≤ x) ja jos F_X on differentiable, sen derivaatta on tiheysfunktio, F_X'(x) = f_X(x). Näin tiheys kertoo todennäköisyyden palautuvan pienempiin tai suurempiin arvoihin.

Esimerkkejä: normaalijakauman tiheys f(x) = (1/(σ√(2π))) exp(-(x-μ)^2/(2σ^2)); tasajakauman tiheys f(x) = 1/(b-a), x ∈ [a,b], ja 0 muualla. Tiheysfunktio kuvaa siten, miten todennäköisyys on jakautunut jatkuvassa tilassa, ja se ei sinänsä ole todennäköisyysarvo vaan sen kuvaama tiheys.